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%opening
\title{Équations différentielles}
\author{Nicolas Lefebvre, p2snico@gmail.com}



\begin{document}
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%    {\normalfont\Large\bfseries\roman}}
%     \makeatletter

\acrodef{ED}[ED]{Équation différentielle}
\acrodef{SM}[SM]{Second Membre}
\acrodef{ESSM}[ESSM]{Équation Sans Second Membre}
\acrodef{SP}[SP]{Solution Particulière}
\acrodef{SG}[SG]{Solution Générale}
\acrodef{VS}[VS]{Variables Séparables}
\acrodef{DT}[DT]{Différentielle Totale}

\newenvironment{definition}[1]{

{\color{red}\copyright} \begin{tabular}{||p{15cm}} \arrayrulecolor{red} {\color{red} \emph{Déf} : }\textbf{#1} \\

} {
\end{tabular}
}


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\newcommand{\R}{\mathbb R} %raccourcis ensemble math
\newcommand{\C}{\mathbb C} %raccourcis ensemble math
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\maketitle





\section{\ac{ED} du 1er ordre}

\subsection{Équation linéaire : $y' +a(x) y = f(x)$}


\subsubsection{Constante (a) fixe}
$y' -ay =0$
Solution : $y = C e^{ax}$ sur $\R$ avec $C \in \R$

\subsubsection{Constante (a) continue sur I}
$y' -a(x)y =0$
Solution : $y = C e^{A(x)}$ sur $\R$ avec $C \in \R$ et $A(x)$ la primitive de $a(x)$.

\subsubsection{Avec \ac{SM}}
$y' -a(x)y = f(x)$

Méthode :
\begin{enumerate}
   \item On résoud l'\ac{ESSM} (ou Équation Homagène) $y' -a(x)y =0$ : solution $y_H = C e^{A(x)}$.
   \item On cherche une \ac{SP}, $y_P$.
      \begin{enumerate}
         \item Test des fonctions simples (constante, polynomes, puissances...)
         \item Variation de la constante
            \begin{itemize}
               \item On cherche une \ac{SP} de l'équation sous la forme $y = C(x)e^{A(x)}$
               \item D'où $y' = C'(x)e^{A(x)}+a(x)C(x)e^{A(x)}$
               \item On reporte dans l'équation : $C'(x)e^{A(x)}+a(x)C(x)e^{A(x)} - a(x)C(x)e^{A(x)} = f(x)$
               \item On obtient $C' e^{A(x)} = f(x) \Leftrightarrow C' = f(x) e^{-A(x)}$
               \item On cherche $C$ : $C(x) = \int f(x) e^{-A(x)}.dx$
               \item D'où la \ac{SP} $s_p = e^{A(x)} C(x) = e^{A(x)} \int f(x) e^{-A(x)}.dx$
            \end{itemize}
            (Dans la pratique on ne sais pas toujours calculer $A(x)$ ni $C(x)$)

      \end{enumerate}

   \item La \ac{SG} de l'équation est $ y = y_H + y_P$, $C \in \R$
\end{enumerate}

\subsection{\ac{VS}}
Dans la pratique on pose les calculs comme ceci (si nécessaire on peux utiliser un changement de variable, par exemple $t = \frac{y}{x}$) : on écrit
\[g(y)y' = f (x)\] de la façon suivante \[g(y)\frac{dy}{dx} = f(x)\]
ce que l’on peut encore écrire \[g(y)dy = f (x)dx\]
ce qui, en intégrant des deux cotés donne \[ \int g(y)dy = \int f (x)dx \Leftrightarrow G(y) = F(x) + C\]

\subsection{Équations homogènes}
Équations de la forme \[ y'(x)=F\left(\frac{y(x)}{x}\right) \]
On pose $\frac{y}{x} = t$ soit $y = t x$ et on résout avec la fonction $t$ : $y' = (tx)' = F(t)$ et on se retrouve avec une \ac{ED} à \ac{VS}.

\subsection{Explicite générale}

De la forme \[P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0\]
Méthode :
\begin{enumerate}
   \item Regarder si c'est une \ac{DT} $\Leftrightarrow \exists U(x,y)$ tel que :
\[\Rightarrow dU = \frac{\partial U}{\partial x}dx + \frac{\partial U}{\partial y}dy \Leftrightarrow P dx + Q dy \Leftrightarrow \frac{dP}{dy} = \frac{dQ}{dx} \]

   \item On résout \[ \left\lbrace   \begin{array}{l}
                        \frac{dU}{dx} = P(x,y) \\
                        \frac{dU}{dy} = Q(x,y)
                  \end{array} \right. \Rightarrow U \mbox{ étant une constante.}\]
\end{enumerate}


\end{document}
